Golden Ratio o Razón Áurea y los Números de Fibonacci

Seleccione por favor el rectángulo que le parezca más estético

El número phi, 1.61803398875..., tiene importantes connotaciones tanto históricas como matemáticas y artísticas.

Se cree que ya las antiguas civilizaciones del Tigris y Éufrates tenían conocimiento de este número. Los Egipcios posiblemente conocieron este número y construyeron sus pirámides tomando en cuenta este número.

phi = (1+5^(1/2))/2 es decir la mitad de la suma de la raíz cuadrada de 5 y el número uno.

Sorpresas interesantes:

phi^2 = phi+1
phi^-1 = phi-1
El número phi nace de la solución a la ecuación: x^2-x-1=0. Es la ecuación que se plantea cuando se resuelve el siguiente problema geométrico: "Dado un segmento, ¿dónde debe hacerse una división tal que la longitud del segmento sea a la parte mayor como la parte mayor a la parte menor?"
También nace del siguiente problema geométrico: "Dado un rectángulo, ¿qué medidas debe tener tal que si se extrae un cuadrado de lado igual al lado menor del rectángulo, el rectángulo que quede sea de las mismas proporciones que el original?". Esto lleva a que se puedan construir fácilmente infinitos rectángulos áureos partiendo de un rectángulo áureo y adosando un cuadrado al lado mayor de lado igual al lado mayor del rectángulo.
sqr(1+sqr(1+sqr(1+sqr(1+....)))) = phi
1+1/(1+1/(1+1/(1+...))) = phi
phi = (13)/8 + suma(n=0 a infinito)((-1)^(n+1)(2n+1)!)/((n+2)!n!4^(2n+3))
phi = 1 + suma(n=1 a infinito)((-1)^(n+1))/(F(n)F(n+1))
sin(i ln(phi)) = i/2
sin(pi/2 - i ln(phi)) = sqr(5)/2

Números de Fibonacci y phi:

La sucesión de Fibonacci se define así: cada término es la suma de los dos anteriores, y los dos primeros términos son 1 y 1.

Se forma entonces fácilmente: 1, 1, 2 (1+1), 3 (2+1), 5 (3+2), 8 (5+3), 13 (8+5), 21 (13+8), 34 (21+13), 55 (34+21), 89 (55+34), ...

La relación con el número phi es el cociente de pares sucesivos se acerca cada vez más a phi:

1 / 1 = 1.00000
2 / 1 = 2.00000
3 / 2 = 1.50000
5 / 3 = 1.66667
8 / 5 = 1.60000
13 / 8 = 1.62500
21 / 13 = 1.61538
34 / 21 = 1.61905
55 / 34 = 1.61765
89 / 55 = 1.61818
144 / 89 = 1.61798
233 / 144 = 1.61806
377 / 233 = 1.61803
610 / 377 = 1.61804
987 / 610 = 1.61803
1597 / 987 = 1.61803

Otras propiedades interesantes:

Si en lugar de utilizar 1 y 1 como los primeros números de Fibonacci, se utilizan cualesquiera otros números, el cociente de pares sucesivos igualmente tiende a phi.
La suma de todos los primeros 'n' números de Fibonacci, es igual al número de Fibonacci 'n+2' menos 1.
La suma de los cuadrados de dos números de Fibonacci 'n-1' y 'n', es igual al número de Fibonacci '2n-1'.
El número 1/89 es un número terriblemente interesante: el valor numérico es 0.01123595505618, que a simple vista no tiene nada de raro, pero analizando un poco, tomando los números de Fibonacci como si fueran fracciones decimales de la siguiente manera:
```
0.01
0.001
0.0002
0.00003
0.000005
0.0000008
0.00000013
0.000000021
0.0000000034
...
```
resultas que al sumarlos todos obtenemos la fracción 1/89
La suma de cualesquiera 10 números de Fibonacci consecutivos es siempre divisible por 11.
La suma de cualesquiera 10 números de Fibonacci consecutivos es siempre el 7º número de la serie de 10 multiplicado por 11.
Con cualquier grupo de 4 números de Fibonacci consecutivos se pueden formar tripletes pitagóricos (tres números que representan la longitud de los lados de un triángulo rectángulo). Por ejemplo: 1,2,3,5. Se toma el producto de los números extremos: 1x5 = 5, el doble producto de los 2 números centrales: 2x2x3 = 12 y la suma de los cuadrados de los números centrales: 2^2 + 3^2 = 13.
Con estos tres números se forma un triángulo rectángulo: 5^2+12^2=13^2
La suma de los cuadrados de cualquier par consecutivo de números de Fibonacci es otro número de Fibonacci.
Existe una fórmula para calcular los números de Fibonacci, que es mucho más directa que utilizar la definición recursiva. Llamando r a la raíz cuadrada de 5, tenemos: F(n) = 1/r*(((1+r)/2)^n-((1-r)/2)^n). Para valores grandes de 'n', se puede aproximar como F(n)=phi^n/r (para n>10 la aproximación es muy buena).

Relación entre los Números de Fibonacci y las plantas y animales

Los hojas a lo largo de un tallo de una planta o las ramas a lo largo de un tronco tienden a crecer en posiciones que optimizan su exposición al sol, lluvia o aire. A medida que el tallo crece, se producen hojas espaciadas bastante regularmente. A pesar de esto, las hojas no crecen directamente una sobre la otra, porque esto imposibilitaría a las hojas que están más abajo obtener la humedad y la luz que necesitan.

Por el contrario, el pasaje de una hoja a la siguiente está caracterizada por un desplazamiento de tipo "de tornillo" alrededor del tallo. Estructuras similares pueden encontrarse en las piñas o en las semillas de los girasoles. Este fenómeno se llama "filotaxis", palabra acuñada por el naturalista suizo Charles Bonnet. Por ejemplo, el tilo tiene hojas opuestas (que corresponden a media vuelta alrededor del tallo), y tiene por lo tanto un factor filotáctico igual a 1/2. En otras plantas, como el avellano, zarzamora y haya, el paso de una hoja a otra necesita un tercio de vuelta (factor filotáctico igual a 1/3). En el manzano, roble y árbol de damascos (albaricoque), tienen hojas cada 2/3 de vuelta y el peral y el sauce llorón las tienen cada 3/8 de vuelta. Notará usted que todas las fracciones mencionadas están formadas con números de Fibonacci.

El hecho de que las hojas de las plantas siguen ciertos patrones fue observado en la antigüedad por Teofrasto (372AC - 287AC) en "Investigación sobre las plantas". Escribe "aquellas plantas que tienen hojas chatas, las tienen en un patrón regular". Plinio el Viejo (23-79 DC) realizó una observación similar en monumental obra "Historia Natural", cuando habla sobre "intervalos regulares" entre hojas "posicionadas circularmente alrededor del tallo". El estudio de la filotaxis no fue más allá de estas observaciones cualitativas, hasta que en siglo XV Leonardo da Vinci (1452-1519) agregó un elemento cuantitativo a la descripción de la distribución de las hojas al notas que las estas estaban distribuidas en patrones espiralados, en ciclos de a 5 (que corresponde a un ángulo de 2/3 de vuelta). La primera persona en descubrir (intuitivamente) la relación enter la filotaxis y los números de Fibonacci fue Johannes Kepler.

Charles Bonnet comenzó con estudios serios en filotaxis observacional. En su libro de 1754 "Investigaciones sobre el uso de las hojas de las plantas" da una clara descripción de la filotaxis con factor 2/3. Durante su trabajo con el matemático G.L. Calandrini, Bonnet pudo también haber descubierto que la serie de filas espiraladas aparecen en algunas plantas, como los cosos de las piñas o de los ananás.

La historia de la verdadera filotaxis matemática comenzó en el siglo XIX con los trabajos del botánico Karl Friedrich Schimper, su amigo Alexander Braun y el cristalógrafo Auguste Bravais y su hermano botánico Louis. Estos estudios descubrieron que la regla general de los factores filotácticos podían ser expresados como cocientes de los números de Fibonacci y notaron la aparición de números de Fibonacci consecutivos en las piñas y ananás.

De hecho los ananás proveen una bella manifestación de una filotaxis "a lo Fibonacci". Cada sector hexagonal de la corteza es parte de 3 espirales distintas. La mayoría de los ananás tienen 5, 8, 13 o 21 espirales de pendiente creciente en su corteza. Todos estos son números de Fibonacci.

¿Cómo saben las plantas que deben posicionar sus hojas en estos patrones de Fibonacci? El crecimiento de las plantas se da en el meristema (punta del tallo), que tiene una forma cónica. Las hojas que crecieron primero, que están más abajo, tienden a estar alejadas readialmente del tallo cuando se ve la planta desde arriba. Uno de los descubrimiento de los hermanos Bravais en 1837 fue que las nuevas hojas avanzan en forma rotatoria aproximadamente el mismo ángulo y que este ángulo está cerca de 137.5º. Va a quedar perplejo cuando se dé cuenta de que este número está directamente relacionado con phi. Si se calcula 360º/phi, se obtiene 222.5º. Y 360º-222.5º es precisamente 137.5º, y algunas veces es llamado el "Ángulo Áureo".

En un trabajo de 1907, el matemático alemán G. van Iterson mostró que si colocan amontonados sucesivos puntos separados por 137.5º en espirales, entonces el ojo humano observaría una familia de patrones espiralados a favor y en contra de las agujas del reloj. El número de espirales en las dos familias tienden a ser números de Fibonacci consecutivos.

Una demostración espectacular de estas espirales es sin duda el girasol. Cuando se mira una girasol, automáticamente aparecen espirales que van a favor y en contra de las agujas del reloj, formadas por las semillas. Claramente estas semillas crecen de forma tal de aprovechar al máximo el espacio disponible. El número de las espirales depende del tamaño del girasol. Lo más común es encontrar 34 espirales en un sentido y 55 en el otro, pero se han encontrado y documentado casos con más espirales: 89/55, 144/89 e incluso 233/144. Todos estos números son, por supuestos, números de Fibonacci consecutivos.

La cantidad y distribución de los pétalos de algunas flores también tienen conexiones con los números de Fibonacci y el número phi. La bella distribución simétrica de los pétalos de las rosas está también basada en phi. Si se disecta una rosa pétalo por pétalo, se descubrirán las posiciones de los pétalos. Los ángulos que definen esta distribución de posiciones, en fracciones de vuelta, son fracciones de múltiplos simples de 1/phi.

Esta descripción muestra que la pregunta formulada hace 2300 años sobre el por qué de la filotaxis se reduce a la siguiente: "¿Por qué están separadas entre sí las hojas por un ángulo de 137.5º?". Hay dos teorías para responder a esta pregunta: una que se basa en la geometría de la configuración y en simples reglas matemáticas que pueden generar esta geometría; y en modelos que sugieren una causa dinámica para la conducta observada. Los trabajos de algunos matemáticos muestran que la forma más eficiente de colocar objetos iguales es en una espiral con ángulo 137.5º. Es fácil de entender: si el ángulo fuera, por ejemplo, 120º, o cualquier otro múltiplo racional de 360º, el alineamiento sería radial, dejando grandes espacios entre los objetos a medida que se van alejando del centro. Por otro lado, el ángulo 137.5º asegura que no haya alineamiento radial y que se rellenen eficientemente todos los espacios.

El ángulo áureo, 137.5ºC, es el mejor de todos los ángulos posibles, porque es el más irracional de todos los números irracionales. Recuerde que la razón áurea es igual a una fracción continua compuesta enteramente de números 1. Esa fracción contiuna converge más lentamente que cualquier otra fracción continua. En otras palabras, la razón áurea, está muy lejos de ser expresado como una fracción que cualquier otro número irracional.

En un trabajo de 1984 en "Journal de Physique", un equipo de científicos liderados por N. Rivier de la Université de Provence en Marsella, Francia, usó un simple algoritmo matemático para mostrar que se usa un ángulo de crecimiento igual al ángulo áureo, aparecen estrucuturas que se parecen a girasoles reales.

El equipo de Rivier encontró que los requerimientos de homogeneidad y auto-similaridad limitan drásticamente la cantidad de estructuras posibles. Estas dos propiedades puede ser suficientes para explicar la proponderancia de los números de Fibonacci y de la razón áurea en la filotaxis, pero aún no hay explicaciones físicas.

Las mejores pistas para una explicación de la dinámica de la filotaxis vino no de la botánica, sino de un experimento de física realizado por L. S. Levitov (en 1991) y por Stephane Douady e Yves Couder (entre 1992 y 1996). El experimento de Douady y Couder es particularmente fascinante. Colocaron un plato lleno de aceite de siliconas en un campo magnético que era más fuerte cerca del borde del plato que del centro. Gotas de un fluido magnético, que actuaban como pequeños imanes, fueron derramadas peródicamente en el centro del plato. Los pequeños imanes se repleían mutuamente y fueron expulsados radialmente por el gradiente magnético. Douady y Couder encontraron patrones que eran oscilantes, pero que en general convergían a una espiral en la cual phi separaba las sucesivas gotas. Los sistemas físicos usualmente encuentran el equilibrio en el estado que representa la mínima energía. Por lo tanto se sugiere que la filotaxis simplemente representa el estado de energía mínima. Otro modelos, en los cuales aparecen las hojas en los puntos de máxima concentración de nutrientes, también tienden a producir separaciones determinadas por el número phi.

Relación entre phi y los números de Fibonnaci

Ya se vió más arriba que el cociente de dos números de Fibonacci sucesivos tiende a phi. Bien, ahora prestar atención porque lo que sigue es increíble:

Phi también satisface la siguiente relación: phi^n = phi^(n-1)+phi^(n-2)

Y la más magnífica relación es: phi^n = F(n) phi + F(n-1), en donde F(n) es el n-ésimo número de Fibonacci.

La ley de Bedford

Una ley llamada la "ley del primer dígito", o "fenómeno del primer dígito" establece que en listados, tablas de estadísticas, etc, el dígito 1 tiende a ocurrir con probabilidad ~30%, mucho mayor que el valor esperado 11.1%. Esta ley puede ser observada, por ejempo, examinando las tablas de logaritmos y dándose cuenta de que las primeras páginas de las tablas están mucho más gastadas que las siguientes (Newcomb 1881). La Ley de Bedford se aplica incuestionablemente a muchas situaciones en la vida real, y una explicación satisfactoria del por qué apareció hace relativamente poco tiempo en un trabajo de Hill (1996).

Hill establece que la frecuencia de los primeros dígitos es:

1 30.1%
2 17.6%
3 12.5%
4 9.69%
5 7.92%
6 6.69%
7 5.80%
8 5.12%
9 4.58%

¿Qué tiene que ver con los números de Fibonacci?

Si se examinan los 2000 primeros números de Fibonacci, se encontrará la siguiente tabla de frecuencia de aparición de los primeros dígitos:

1 30%
2 17.65%
3 12.5%
...
9 4.6%

Para ver los resultados de la encuesta que figura más arriba en esta página, sobre los rectángulos, visite la página de resultados de la encuesta sobre los rectángulos.